Zasada 72: obliczanie czasu podwojenia kwoty w pamięci

Jeśli podzieli się 72 przez stopę procentową, otrzymuje się liczbę lat potrzebnych do podwojenia kwoty. Przy stopie 6 % jest to dwanaście lat, a przy 9 % – osiem. Jest to jedyna zasada arytmetyki dotyczącej odsetek składanych, którą warto zapamiętać, ponieważ przekształca ona wartość procentową w przedział czasowy – a czas jest tym, co ludzie potrafią faktycznie ocenić.

Co mówi zasada

czas podwojenia ≈ 72 / oprocentowanie w procentach

6 % → 72 / 6 = 12 lat

8 % → 72 / 8 = 9 lat

Stopa procentowa podawana jest w procentach, a nie w postaci ułamka dziesiętnego

Zakłada się, że odsetki są naliczane raz w roku i nie dokonuje się żadnych wpłat ani wypłat

Działa to w obu kierunkach i właśnie w tym tkwi większość jego wartości. Jeśli plan zakłada, że Państwa środki mają się podwoić w ciągu dziesięciu lat, zasada ta mówi, że potrzebują Państwo około 7,2 % rocznie. Głośne stwierdzenie „Potrzebuję 7,2 %” stanowi znacznie lepszy test planu niż stwierdzenie „Chcę, aby się podwoiły”.

Jak dokładne są te obliczenia w rzeczywistości

Zasada ta ma charakter przybliżony i warto wiedzieć, w którą stronę występuje błąd. Środkowa kolumna przedstawia dokładny czas podwojenia kwoty; ostatnia kolumna wskazuje pierwszy pełny rok, w którym saldo faktycznie uległo podwojeniu przy corocznym naliczaniu odsetek.

W przedziale od około 6 % do 10 % reguła ta jest dokładna z dokładnością do jednej dziesiątej roku. Poniżej tego przedziału wynik jest zawyżony — przy stopie 2 % podaje się 36 lat, podczas gdy prawidłowa odpowiedź to 35 lat. Powyżej tego przedziału wynik jest zaniżony. W przypadku stóp występujących w rzeczywistych planach oszczędnościowych błąd ten jest mniejszy niż niepewność związana z samą stopą.

Ostatnia kolumna zawiera osobną lekcję. Przy oprocentowaniu 8 % dokładny czas podwojenia wynosi 9,01 roku, jednak przy rocznym naliczaniu odsetek saldo przekracza 2 000 € dopiero pod koniec dziesiątego roku — odsetki są wypłacane jednorazowo, a nie na bieżąco. Zasada ta określa, kiedy kwota ulega podwojeniu; harmonogram naliczania odsetek decyduje o tym, kiedy można z nich skorzystać.

Skąd pochodzi liczba 72

Dokładny czas podwojenia wynosi ln 2 / ln(1 + r). Dla małych wartości r wyrażenie ln(1 + r) jest bliskie wartości r, co daje wynik ln 2 / r — a wartość ln 2 wynosi 0,6931, więc licznik wynosi w rzeczywistości 69,31, a nie 72.

• 69,31 to matematycznie poprawny licznik, który zapewnia największą dokładność przy bardzo niskich stopach procentowych.
• Liczba 70 jest łatwiejsza do dzielenia i często występuje w ekonomii, zwłaszcza w odniesieniu do stóp wzrostu i inflacji.
• Liczba 72 jest najmniej dokładna przy niskich stopach procentowych, a jednocześnie najłatwiejsza do dzielenia: przez 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 i 12. Dlatego właśnie zwyciężyła.
• Liczba 72 kompensuje również błąd aproksymacji w zakresie średnich wartości jednocyfrowych, czyli dokładnie tam, gdzie mieszczą się oprocentowania kredytów konsumenckich.

Wybór liczby 72 nie jest zatem wynikiem obliczeń matematycznych. Jest to rozwiązanie praktyczne, które okazuje się dobrze dostosowane do zakresu wartości faktycznie stosowanych przez użytkowników.

Wykorzystanie tej funkcji w odwrotnym kierunku oraz w wielokrotnościach

Trzy warianty pozwalają na większość szybkich obliczeń.

1. Stopa procentowa w ujęciu czasowym: stopa ≈ 72 / lata. Podwojenie kwoty w ciągu piętnastu lat wymaga około 4,8 %.
2. Czterokrotny wzrost: dwa podwojenia. Przy oprocentowaniu 6 % czterokrotny wzrost kapitału zajmuje około dwudziestu czterech lat.
3. Potrojenie: należy użyć liczby 114 zamiast 72 — to samo wyznaczenie z wykorzystaniem logarytmu naturalnego z 3. Przy oprocentowaniu 6 % zajmie to około dziewiętnastu lat.

Łańcuch podwojeń to sytuacja, w której zasada ta staje się naprawdę przydatna do oceny horyzontu czasowego. Czterdzieści lat przy oprocentowaniu 6 % to nieco ponad trzy podwojenia, więc wpłacona kwota wzrasta mniej więcej dziesięciokrotnie. Jest to twierdzenie, które można zweryfikować bez użycia kalkulatora, a okazuje się ono prawdziwe: 10 000 € przy oprocentowaniu 6 % przez czterdzieści lat to 102 857 €.

Gdzie pojawiają się problemy

• Opisano w nim wyłącznie kwotę jednorazową. W przypadku miesięcznego planu oszczędnościowego nie ma jednego czasu podwojenia kwoty, ponieważ każdy wpłat rozpoczyna własny cykl.
• Zakłada się w nim stałą stopę procentową. Zastosowanie tej metody do portfela o zmiennej wartości przy użyciu średniej stopy zwrotu spowoduje zawyżenie wyniku, ponieważ średnie i stopy zwrotu w ujęciu składanym to nie to samo.
• W artykule pominięto opłaty, podatki i inflację. Należy je odjąć od stopy procentowej przed wykonaniem dzielenia, w przeciwnym razie wynik będzie odnosił się do innej stopy procentowej niż ta, którą faktycznie Państwo otrzymają.
• Wyniki stają się zauważalnie błędne przy stopach powyżej 20 %. Przy 20 % zasada podaje 3,6 roku, podczas gdy dokładna wartość wynosi 3,8; przy 50 % podaje 1,44, podczas gdy rzeczywista wartość wynosi 1,71, co stanowi niedoszacowanie o 16 %.

Najbardziej przydatna aplikacja: inflacja

Zastosuj to reguła do stopy inflacji, a dowiesz się, ile czasu minie, zanim ceny podwoją się — lub, co jest równoznaczne, zanim siła nabywcza Państwa środków pieniężnych zmniejszy się o połowę. Przy inflacji na poziomie 3 % wynik z zastosowania reguły 72/3 wynosi dwadzieścia cztery lata. Dokładna wartość to 23,4, więc szacunek ten jest nieco ostrożny, ale wystarczająco bliski rzeczywistości.

Warto mieć tę wersję zawsze pod ręką. Przekształca ona abstrakcyjną wartość procentową w konkretne stwierdzenie dotyczące Państwa własnych środków: przy oprocentowaniu 3 % kwota pozostawiona na rachunku bieżącym do dwudziest piątych urodzin Państwa dziecka pozwoli na zakup mniej więcej połowy tego, co można za nią kupić dzisiaj.

Czytaj dalej