Wzór na odsetki składane – wyjaśnienie krok po kroku

Odsetki składane to wzór składający się z pięciu liter. Gdy tylko zrozumiecie znaczenie tych pięciu liter, większość pytań dotyczących długoterminowego oszczędzania znajdzie odpowiedź: ile wyniesie wartość wpłaty, ile czasu zajmie jej podwojenie oraz dlaczego rozpoczęcie oszczędzania pięć lat wcześniej jest korzystniejsze niż oszczędzanie o pięć procent więcej. Niniejszy przewodnik omawia ten wzór, wyjaśnia, jaki wpływ na wynik ma każda z jego części, oraz przedstawia scenariusze, które można otworzyć w kalkulatorze.

Co faktycznie oznacza ten wzór

A = P × (1 + r/n)^(n·t)

A — kwota, którą ostatecznie Państwo otrzymają

P — kwota kapitału, czyli kwota, od której zaczynają Państwo oszczędzanie

r — roczna stopa procentowa wyrażona w postaci ułamka dziesiętnego (6 % = 0,06)

n — ile razy w roku naliczane są odsetki

t — liczba lat

Proszę zapoznać się z treścią od początku do końca. Stopa r jest dzielona przez n, ponieważ jeśli odsetki są naliczane co miesiąc, każda operacja naliczania odpowiada jedynie jednej dwunastej stopy rocznej. Ten niewielki współczynnik jest następnie stosowany n·t razy — raz na każdą operację naliczania w całym horyzoncie czasowym. Wszystko, co interesujące w odsetkach składanych, zawarte jest właśnie w tym wykładniku.

Warto wyraźnie podkreślić jedną konsekwencję: podstawa potęgi wynosi niewiele więcej niż jeden. Przy rocznym oprocentowaniu wynoszącym 6 % podstawa wynosi 1,06. Podniesienie liczby 1,06 do potęgi 40 nie jest jedynie niewielką korektą do wartości 1,06 × 40. Jest to zupełnie inny rodzaj wzrostu, a różnica ta nie jest widoczna w ciągu pierwszych kilku lat.

Dlaczego to wykładnik wykonuje całą pracę

Najbardziej przejrzystym sposobem zilustrowania tego zjawiska jest utrzymanie wszystkich parametrów na stałym poziomie z wyjątkiem czasu. Zdeponuj 10 000 € przy oprocentowaniu 5 % rocznie, naliczanym raz w roku, i nie ruszaj tych środków. W przypadku odsetek prostych co roku otrzymywałby Pan 500 €, i tak bez końca. Odsetki składane zapewniają 500 € w pierwszym roku, a w każdym kolejnym roku kwota ta jest wyższa, ponieważ same odsetki zaczynają przynosić zysk.

Po pięciu latach różnica między obiema kolumnami wynosi 263 € — w planach większości osób jest to błąd zaokrąglenia. Po czterdziestu latach różnica ta wynosi 40 400 €, co stanowi czterokrotność pierwotnej wpłaty. Nie zmieniło się nic poza liczbą zastosowań wykładnika. Właśnie dlatego każdy poradnik dotyczący oszczędzania ostatecznie zawiera tę samą radę dotyczącą wczesnego rozpoczęcia: nie kupują Państwo wyższego oprocentowania, lecz większą liczbę wykładników.

Skąd tak naprawdę pochodzą pieniądze

Pomocne jest podzielenie kwoty końcowej na dwie części: pieniądze, które Pan/Pani wpłacił(a), oraz pieniądze, które zostały wygenerowane. W powyższym przykładzie obejmującym okres czterdziestu lat 10 000 € stanowi Państwa wkład, a 60 400 € to odsetki. Stosunek ten ulega odwróceniu mniej więcej w połowie okresu, a orientacyjna wiedza o tym, gdzie dokładnie to nastąpi, wpływa na sposób interpretacji Państwa własnego planu.

• Na początku niemal całe saldo stanowi Pana/Pani własna wpłata. Założenia dotyczące stóp procentowych nie mają większego znaczenia, a straty poniesione w niekorzystnym roku można łatwo nadrobić.
• W momencie, gdy skumulowane odsetki przewyższają skumulowane wpłaty, założona stopa procentowa zaczyna dominować nad wynikiem.
• W późniejszym okresie stan konta zmienia się głównie pod wpływem sytuacji rynkowej. Dodanie kolejnych środków do depozytu ma niewielki wpływ na wynik; natomiast zmiana oprocentowania o jeden punkt procentowy ma znaczący wpływ.

Jest to również szczera odpowiedź na pytanie: „jaką stopę procentową należy przyjąć?”. W przypadku horyzontu pięcioletniego założenie to nie ma praktycznie żadnego znaczenia. W przypadku horyzontu trzydziestoletniego jest to jedyna, ale za to najbardziej istotna wartość w obliczeniach, a jednocześnie ta, o której wie Pan najmniej.

Co ulega zmianie, a co pozostaje niezmienne

Litera „n” w wzorze oznacza częstotliwość kapitalizacji: jak często odsetki są naliczane i zaczynają przynosić zysk same w sobie. Zwiększenie tej wartości zawsze przynosi korzyści, ale znacznie mniejsze niż się powszechnie uważa. Przejście z kapitalizacji rocznej na miesięczną przy stopie 6 % w ciągu dwudziestu lat zwiększa saldo końcowe o około 3 % — jest to realny efekt, ale daleki od korzyści wynikających z przedłużenia horyzontu czasowego o jeden dodatkowy rok.

Istnieje pewna górna granica. Gdy n dąży do nieskończoności, wyrażenie to dąży do A = P × e^(r·t), co odpowiada kapitalizacji ciągłej. Różnica między kapitalizacją miesięczną a ciągłą jest na tyle niewielka, że żaden produkt konsumencki nigdy nie będzie tego reklamował. Warto zrozumieć częstotliwość kapitalizacji, aby móc prawidłowo porównać dwa produkty, a nie dlatego, że jej optymalizacja zmieni Państwa wynik.

Odczytywanie wzoru od końca

Większość rzeczywistych pytań nie brzmi: „jaką wartość przyjąć dla A”. Pytania te dotyczą jednej z pozostałych czterech liter, przy czym wartość A jest z góry określona.

1. Od jakiej kwoty należy zacząć? Oblicz wartość P: P = A / (1 + r/n)^(n·t). Jest to wartość bieżąca — czyli ile dana przyszła kwota jest warta dzisiaj.
2. Jakiego zwrotu potrzebuję? Proszę obliczyć wartość r. W przypadku kapitalizacji rocznej r = (A/P)^(1/t) − 1. Należy to zrobić przed zaufaniem jakiemukolwiek planowi, który zakłada konkretną stopę zwrotu; jeśli wynik wynosi 12 %, plan ten jest raczej spekulacją, a nie prognozą.
3. Ile to potrwa? Proszę obliczyć wartość t: t = ln(A/P) / (n · ln(1 + r/n)). Szczególnym przypadkiem jest równanie A = 2P, które określa czas podwojenia kwoty – właśnie tę wartość przybliża reguła 72.

Obliczenie wartości r jest najbardziej przydatne spośród tych trzech czynności, a jednocześnie najrzadziej wykonywane. Kwota docelowa i horyzont czasowy razem określają wymaganą stopę zwrotu. Zapisanie tej liczby przekształca życzenie w hipotezę, którą można zweryfikować.

Kiedy wzór przestaje wystarczać

Wzór A = P × (1 + r/n)^(n·t) opisuje sytuację, w której jedna wpłata pozostaje bez zmian. Prawie nikt nie oszczędza w ten sposób. Jeśli co miesiąc wpłaca się 400 €, każda wpłata ma swój własny horyzont czasowy: pierwsza jest kapitalizowana przez cały okres, a ostatnia – przez jeden miesiąc. Zamkniętą postacią tego równania jest wzór na rentę, a połączenie go z nieregularnym harmonogramem wpłat i wypłat szybko staje się skomplikowane.

Właśnie do tego służy ten kalkulator. Przechodzi on przez horyzont czasowy okres po okresie, stosuje stopę procentową dla danego okresu oraz dodaje lub odejmuje zaplanowane kwoty. Ta sama arytmetyka, bez algebry.

Cztery błędy, które zmieniają wynik

• Użycie wartości procentowej w miejscu, gdzie powinna znajdować się liczba dziesiętna. Wartość r = 6 we wzorze oznacza 600 %. Jest to najczęstszy błąd arytmetyczny.
• Mylenie stóp nominalnych i efektywnych. Produkt reklamowany jako „6 % nominalnie, naliczane co miesiąc” zapewnia stopę efektywną w wysokości 6,17 %. Należy porównywać podobne produkty.
• Założenie, że średnia z przeszłości się powtórzy. Długoterminowa średnia stopa zwrotu nie jest zwrotem, jaki otrzymuje się każdego roku; kolejność lat ma znaczenie, gdy tylko rozpocznie się wypłacanie środków.
• Pomijając inflację, podatki i opłaty. Wszystkie trzy czynniki obniżają wartość r, a r występuje w wykładniku. Roczna opłata w wysokości 0,5 % naliczana przez trzydzieści lat nie stanowi 15 % Państwa zysków — ona również podlega procentowi składanemu.

Żadna z tych opcji nie zmienia wzoru. Zmieniają one jedynie dane wejściowe, a to właśnie z nich wynikają niemal wszystkie błędy w prognozach.

Czytaj dalej