La formule des intérêts composés, expliquée ligne par ligne

L'intérêt composé se résume à une formule composée de cinq lettres. Une fois que vous savez déchiffrer ces cinq lettres, la plupart des questions relatives à l’épargne à long terme trouvent leur réponse d’elles-mêmes : quel sera le montant final d’un dépôt, combien de temps faut-il pour qu’il double, et pourquoi commencer cinq ans plus tôt est plus avantageux que d’épargner 5 % de plus. Ce guide vous explique la formule, vous montre l’influence de chaque élément sur le résultat et vous propose des scénarios que vous pouvez ouvrir dans la calculatrice.

Ce que la formule signifie réellement

A = P × (1 + r/n)^(n·t)

A — le montant que vous obtenez au final

P — le capital, c'est-à-dire le montant initial

r — le taux d'intérêt annuel sous forme décimale (6 % = 0,06)

n — nombre de fois par an où les intérêts sont crédités

t — le nombre d'années

Lisez-le de fond en comble. Le taux r est divisé par n, car si les intérêts sont crédités mensuellement, chaque opération de crédit ne représente qu’un douzième du taux annuel. Ce petit facteur est ensuite appliqué n·t fois — une fois par opération de crédit sur toute la durée du placement. Tout ce qu’il y a d’intéressant dans les intérêts composés réside dans cet exposant.

Une conséquence mérite d’être soulignée clairement : la base de la puissance est à peine supérieure à un. Avec un taux de 6 % crédité annuellement, la base est de 1,06. Élever 1,06 à la puissance 40 ne revient pas simplement à multiplier 1,06 par 40. Il s'agit d'un autre type de croissance, et la différence n'est pas perceptible au cours des premières années.

Pourquoi l'exposant fait tout le travail

La manière la plus claire d’illustrer ce principe consiste à maintenir tous les paramètres fixes, à l’exception du temps. Déposez 10 000 € à un taux de 5 % par an, crédités annuellement, et ne touchez à rien. Avec l'intérêt simple, vous percevriez 500 € chaque année, indéfiniment. Avec l'intérêt composé, vous percevez 500 € la première année, puis un montant plus élevé chaque année suivante, car les intérêts eux-mêmes commencent à rapporter.

Au bout de cinq ans, les deux colonnes présentent un écart de 263 € — une erreur d’arrondi dans la planification de la plupart des gens. Au bout de quarante ans, cet écart s’élève à 40 400 €, soit quatre fois le montant du dépôt initial. Rien n’a changé, si ce n’est le nombre de fois où l’exposant a été appliqué. C’est pourquoi tous les guides sur l’épargne finissent par dire la même chose concernant l’importance de commencer tôt : vous n’achetez pas un taux plus élevé, vous achetez davantage d’exposant.

D'où provient réellement l'argent ?

Il est utile de diviser le montant final en deux parties : l'argent que vous avez placé et les intérêts générés. Dans l'exemple ci-dessus, sur une période de quarante ans, 10 000 € vous appartiennent et 60 400 € correspondent aux intérêts. Le rapport s’inverse à mi-parcours, et le fait de savoir approximativement à quel moment cela se produit change la façon dont vous interprétez votre propre plan.

• Au début, la quasi-totalité du solde correspond à vos propres dépôts. Les hypothèses de taux n'ont pratiquement aucune importance, et une mauvaise année est facile à rattraper.
• À partir du moment où les intérêts cumulés dépassent les dépôts cumulés, l'hypothèse de taux commence à influencer de manière prépondérante le résultat.
• À terme, le solde évolue principalement en fonction du marché. L'ajout d'un montant au dépôt n'a qu'un impact minime ; en revanche, une variation d'un point de pourcentage du taux a un impact considérable.

C'est également la réponse honnête à la question « quel taux dois-je retenir ? ». Pour un horizon de cinq ans, l'hypothèse retenue n'a pratiquement aucune importance. Pour un horizon de trente ans, c'est le chiffre le plus déterminant du calcul, et c'est celui que vous connaissez le moins.

Ce qui change et ce qui ne change pas

Le « n » dans la formule correspond à la fréquence de capitalisation : la fréquence à laquelle les intérêts sont crédités et commencent à générer eux-mêmes des intérêts. L'augmenter est toujours bénéfique, mais bien moins que ce que l'on pourrait croire. Passer d'une capitalisation annuelle à une capitalisation mensuelle à un taux de 6 % sur vingt ans ajoute environ 3 % au solde final — un gain réel, mais loin d'avoir l'impact d'une année supplémentaire d'horizon d'investissement.

Il existe un plafond. Lorsque n tend vers l'infini, l'expression converge vers A = P × e^(r·t), ce qui correspond à une capitalisation continue. L'écart entre la capitalisation mensuelle et la capitalisation continue est si faible qu'aucun produit grand public ne le mettra jamais en avant. Il est utile de bien comprendre la fréquence de capitalisation afin de pouvoir comparer correctement deux produits, et non parce que son optimisation changera le résultat final.

Lecture de la formule à l'envers

La plupart des questions réelles ne se formulent pas ainsi : « Quelle sera la valeur de A ? ». Elles portent sur l'une des quatre autres lettres, la valeur de A étant donnée.

1. De quel montant dois-je disposer au départ ? Calculez la valeur de P : P = A / (1 + r/n)^(n·t). Il s’agit de la valeur actuelle, c’est-à-dire la valeur qu’un montant futur représente aujourd’hui.
2. De quel rendement ai-je besoin ? Déterminez la valeur de r. Avec une capitalisation annuelle, r = (A/P)^(1/t) − 1. Faites ce calcul avant de vous fier à un plan quelconque qui repose sur un taux spécifique ; si le résultat est de 12 %, ce plan relève du pari, et non d’une projection.
3. Combien de temps cela prendra-t-il ? Résolvez l'équation pour t : t = ln(A/P) / (n · ln(1 + r/n)). Le cas particulier A = 2P correspond au temps de doublement, que la règle de 72 permet d'estimer.

Le calcul de la valeur de r est le plus utile des trois, et celui que l'on effectue le moins souvent. Un montant cible et un horizon de placement impliquent ensemble un taux de rendement requis. Noter ce chiffre transforme un souhait en une hypothèse vérifiable.

Quand la formule ne suffit plus

La formule A = P × (1 + r/n)^(n·t) décrit un dépôt unique laissé tel quel. Presque personne n’épargne de cette manière. Ajoutez 400 € par mois et chaque dépôt a son propre horizon : le premier bénéficie des intérêts composés pendant toute la durée, le dernier pendant un mois. La formule exacte pour cela est la formule de l'annuité, et la combiner avec un calendrier irrégulier de versements et de retraits devient rapidement compliqué.

C’est à cela que sert la calculatrice. Elle parcourt l’horizon période par période, applique le taux correspondant à chaque période et ajoute ou soustrait les montants prévus. Il s’agit d’arithmétique, pas d’algèbre.

Quatre erreurs qui modifient le résultat

• Utilisation d'un pourcentage là où il faudrait une décimale. Dans la formule, r = 6 signifie 600 %. Il s'agit de l'erreur de calcul la plus courante.
• Confusion entre taux nominal et taux effectif. Un produit annonçant « 6 % nominal, crédité mensuellement » offre un taux effectif de 6,17 %. Comparez ce qui est comparable.
• Partir du principe que la moyenne passée se répétera. Un rendement moyen à long terme n’est pas un rendement que vous percevez chaque année ; l’ordre des années a son importance dès lors que vous effectuez des retraits.
• Sans tenir compte de l’inflation, des impôts et des frais. Ces trois éléments réduisent le taux r, et r figure dans l’exposant. Des frais annuels de 0,5 % sur trente ans ne représentent pas 15 % de vos rendements : ils sont eux aussi soumis à la capitalisation.

Aucun de ces éléments ne modifie la formule. Ils modifient les données que vous y introduisez, ce qui est à l'origine de la quasi-totalité des erreurs de projection.

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