La fórmula del interés compuesto, explicada línea por línea

El interés compuesto es una fórmula compuesta por cinco letras. Una vez que sepa interpretar esas cinco letras, la mayoría de las preguntas sobre el ahorro a largo plazo se responden por sí solas: cuánto se acumula un depósito, cuánto tiempo tarda en duplicarse y por qué empezar cinco años antes es mejor que ahorrar un cinco por ciento más. Esta guía explica la fórmula paso a paso, muestra cómo influye cada parte en el resultado y le ofrece ejemplos que puede abrir en la calculadora.

Lo que realmente indica la fórmula

A = P × (1 + r/n)^(n·t)

A — la cantidad con la que se queda al final

P — el capital, la cantidad con la que se empieza

r — el tipo de interés anual expresado en forma decimal (6 % = 0,06)

n — el número de veces al año en que se abonan los intereses

t — el número de años

Léalo de principio a fin. La tasa r se divide entre n, ya que, si los intereses se abonan mensualmente, cada operación de abono solo recibe una doceava parte de la tasa anual. Ese pequeño factor se aplica entonces n·t veces —una vez por cada operación de abono a lo largo de todo el horizonte temporal—. Todo lo interesante sobre el interés compuesto reside en ese exponente.

Hay una consecuencia que conviene señalar con claridad: la base de la potencia es apenas superior a uno. Con un 6 % anual, la base es 1,06. Elevar 1,06 a la potencia de 40 no supone una simple corrección a 1,06 × 40. Se trata de un tipo de crecimiento distinto, y la diferencia no se aprecia en los primeros años.

Por qué el exponente es el que hace todo el trabajo

La forma más clara de entenderlo es mantener fijas todas las variables excepto el tiempo. Deposite 10.000 € al 5 % anual, con capitalización anual, y no toque nada. Con el interés simple se obtendrían 500 € cada año, indefinidamente. El interés compuesto genera 500 € el primer año y una cantidad mayor cada año a partir de entonces, ya que el propio interés comienza a generar rendimientos.

Al cabo de cinco años, la diferencia entre ambas columnas es de 263 € —un error de redondeo en la planificación de la mayoría de las personas—. Al cabo de cuarenta años, la diferencia asciende a 40.400 €, lo que supone cuatro veces el depósito inicial. No ha cambiado nada, salvo el número de veces que se ha aplicado el exponente. Por eso, todas las guías sobre ahorro acaban diciendo lo mismo acerca de empezar pronto: no se está comprando un tipo de interés más alto, sino más exponente.

De dónde procede realmente el dinero

Resulta útil dividir el importe final en dos partes: el dinero que usted aporta y el dinero que este ha generado. En la tabla de cuarenta años que figura más arriba, 10.000 € son suyos y 60.400 € corresponden a intereses. La proporción se invierte en algún punto intermedio, y saber aproximadamente dónde se produce ese cambio modifica la forma en que interpreta su propio plan.

• Al principio, casi todo el saldo corresponde a sus propios depósitos. Las hipótesis sobre los tipos de interés apenas tienen importancia, y es fácil recuperarse de un mal año.
• En el momento en que los intereses acumulados superan a los depósitos acumulados, la hipótesis sobre el tipo de interés comienza a determinar el resultado.
• Con el paso del tiempo, el saldo varía principalmente en función del mercado. Aumentar el depósito supone un cambio mínimo; un punto porcentual en el tipo de interés supone un cambio considerable.

Esta es también la respuesta sincera a la pregunta «¿qué tipo de interés debo suponer?». Para un horizonte de cinco años, la hipótesis apenas tiene importancia. Para un horizonte de treinta años, es la cifra más determinante del cálculo, y es precisamente de la que menos sabe usted.

Qué cambia con n y qué no cambia

La «n» de la fórmula es la frecuencia de capitalización: la periodicidad con la que se abonan los intereses y estos comienzan a generar intereses por sí mismos. Aumentarla siempre resulta beneficioso, pero mucho menos de lo que la gente espera. Pasar de una capitalización anual a una mensual al 6 % durante veinte años añade aproximadamente un 3 % al saldo final —una diferencia real, pero que no se acerca ni de lejos al efecto de un año adicional de horizonte temporal—.

Existe un límite máximo. A medida que n tiende a infinito, la expresión converge a A = P × e^(r·t), capitalización continua. La diferencia entre la capitalización mensual y la continua es tan pequeña que ningún producto de consumo la publicitará jamás. Conviene comprender la frecuencia para poder comparar correctamente dos productos, no porque optimizarla vaya a modificar el resultado.

Cómo leer la fórmula al revés

La mayoría de las preguntas reales no son del tipo «¿cuánto valdrá A?». Se refieren a una de las otras cuatro letras, cuando A ya está dada.

1. ¿De cuánto dinero necesito disponer inicialmente? Resuelva la ecuación para hallar P: P = A / (1 + r/n)^(n·t). Se trata del valor actual, es decir, el valor que tiene hoy una cantidad futura.
2. ¿Qué rendimiento necesito? Resuelva la ecuación para hallar r. Con capitalización anual, r = (A/P)^(1/t) − 1. Haga este cálculo antes de confiar en cualquier plan que requiera una tasa específica; si la respuesta es del 12 %, el plan es una apuesta, no una proyección.
3. ¿Cuánto tiempo tardará? Resuelva en función de t: t = ln(A/P) / (n · ln(1 + r/n)). El caso especial A = 2P corresponde al tiempo de duplicación, que es lo que aproxima la regla del 72.

Calcular el valor de «r» es lo más útil de las tres cosas y lo que menos se suele hacer. Un importe objetivo y un horizonte temporal implican, en conjunto, una rentabilidad necesaria. Anotar esa cifra convierte un deseo en una hipótesis que se puede comprobar.

Cuando la fórmula deja de ser suficiente

La fórmula A = P × (1 + r/n)^(n·t) describe un único depósito que no se retira. Casi nadie ahorra de esa manera. Si se añaden 400 € al mes, cada depósito tiene su propio horizonte temporal: el primero se capitaliza durante todo el plazo, el último, durante un mes. La fórmula cerrada para ello es la fórmula de la anualidad, y combinarla con un calendario irregular de aportaciones y retiradas se complica rápidamente.

Para eso sirve la calculadora. Recorre el horizonte temporal periodo a periodo, aplica el tipo de interés correspondiente a cada periodo y suma o resta lo que esté programado. Es la misma aritmética, sin álgebra.

Cuatro errores que alteran el resultado

• Utilización de un porcentaje donde debería aparecer un decimal. El valor «r = 6» en la fórmula significa el 600 %. Este es el error aritmético más habitual.
• Confusión entre tipos nominales y efectivos. Un producto que anuncia «6 % nominal, abonado mensualmente» ofrece un rendimiento efectivo del 6,17 %. Compare lo comparable con lo comparable.
• Suponiendo que se repita una media histórica. Una rentabilidad media a largo plazo no es la rentabilidad que se obtiene cada año; el orden de los años cobra importancia en cuanto se empiezan a realizar retiradas.
• Sin tener en cuenta la inflación, los impuestos ni las comisiones. Estos tres factores reducen la tasa de rendimiento (r), y r figura en el exponente. Una comisión anual del 0,5 % a lo largo de treinta años no supone un 15 % de su rentabilidad: también se capitaliza.

Ninguno de ellos modifica la fórmula. Lo que cambian es lo que se introduce en ella, que es de donde proceden casi todos los errores de proyección.

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