Die Zinseszins-Formel, Zeile für Zeile erklärt

Zinseszins ist eine Formel mit fünf Buchstaben. Wer diese fünf Buchstaben lesen kann, beantwortet die meisten Fragen zum langfristigen Sparen selbst: was aus einer Einzahlung wird, wie lange eine Verdopplung dauert und warum fünf Jahre früher anfangen mehr bringt als fünf Prozent mehr sparen. Dieser Guide geht die Formel durch, zeigt, was jeder Bestandteil am Ergebnis bewirkt, und gibt Ihnen Szenarien, die Sie direkt im Rechner öffnen können.

Was die Formel aussagt

A = P × (1 + r/n)^(n·t)

A — der Endbetrag

P — das Startkapital

r — der Jahreszinssatz als Dezimalzahl (6 % = 0,06)

n — wie oft pro Jahr Zinsen gutgeschrieben werden

t — die Anzahl der Jahre

Lesen Sie sie von innen nach außen. Der Zinssatz r wird durch n geteilt, denn bei monatlicher Gutschrift erhält jede einzelne Gutschrift nur ein Zwölftel des Jahreszinses. Dieser kleine Faktor wird dann n·t-mal angewendet — einmal je Gutschrift über den gesamten Zeitraum. Alles, was den Zinseszins interessant macht, steckt in diesem Exponenten.

Eine Folge davon lohnt es sich klar auszusprechen: die Basis der Potenz liegt nur knapp über eins. Bei 6 % mit jährlicher Gutschrift ist die Basis 1,06. Und 1,06 hoch 40 ist keine kleine Korrektur von 1,06 × 40, sondern eine andere Art von Wachstum — nur sieht man den Unterschied in den ersten Jahren nicht.

Warum der Exponent die Arbeit macht

Am deutlichsten wird das, wenn man alles außer der Zeit festhält. Legen Sie 10.000 € zu 5 % pro Jahr an, jährliche Gutschrift, und rühren Sie nichts an. Einfache Zinsen zahlen jedes Jahr 500 €, dauerhaft. Der Zinseszins zahlt im ersten Jahr 500 € und in jedem weiteren mehr, weil die Zinsen selbst zu arbeiten anfangen.

Nach fünf Jahren unterscheiden sich die beiden Spalten um 263 € — in jeder realistischen Planung ein Rundungsfehler. Nach vierzig Jahren sind es 40.400 €, also das Vierfache der ursprünglichen Einzahlung. Geändert hat sich nichts außer der Zahl der Male, die der Exponent angewendet wurde. Genau deshalb endet jeder Ratgeber zum Sparen beim gleichen Satz über den frühen Start: Sie kaufen keinen höheren Zinssatz, Sie kaufen mehr Exponent.

Woher das Geld tatsächlich kommt

Es hilft, den Endbetrag in zwei Teile zu zerlegen: das Geld, das Sie eingezahlt haben, und das Geld, das dieses Geld verdient hat. In der Vierzig-Jahre-Zeile oben gehören 10.000 € Ihnen und 60.400 € sind Zinsen. Das Verhältnis kippt irgendwo in der Mitte, und zu wissen, wo etwa, verändert den Blick auf den eigenen Plan.

• Am Anfang besteht der Bestand fast vollständig aus Ihren Einzahlungen. Die Zinsannahme spielt kaum eine Rolle, ein schlechtes Jahr ist leicht aufzuholen.
• Etwa dort, wo die kumulierten Zinsen die kumulierten Einzahlungen überholen, beginnt die Zinsannahme das Ergebnis zu bestimmen.
• Am Ende bewegt sich der Bestand überwiegend mit dem Markt. Mehr einzuzahlen ändert wenig, ein Prozentpunkt Zins ändert viel.

Das ist auch die ehrliche Antwort auf die Frage, welchen Zinssatz man annehmen soll. Auf fünf Jahre ist die Annahme fast belanglos. Auf dreißig Jahre ist sie die folgenreichste Zahl der ganzen Rechnung — und genau die, über die Sie am wenigsten wissen.

Was n verändert und was nicht

Das n in der Formel ist die Verzinsungsfrequenz: wie oft Zinsen gutgeschrieben werden und selbst anfangen zu arbeiten. Sie zu erhöhen hilft immer, aber weit weniger als erwartet. Von jährlicher auf monatliche Verzinsung zu wechseln bringt bei 6 % über zwanzig Jahre rund 3 % mehr Endkapital — messbar, aber nicht in der Nähe des Effekts eines zusätzlichen Anlagejahres.

Es gibt eine Obergrenze. Wächst n gegen unendlich, konvergiert der Ausdruck gegen A = P × e^(r·t), die stetige Verzinsung. Der Abstand zwischen monatlich und stetig ist so klein, dass kein Endkundenprodukt damit werben wird. Die Frequenz zu verstehen lohnt sich, um zwei Angebote korrekt zu vergleichen — nicht, weil ihre Optimierung Ihr Ergebnis verändern würde.

Die Formel rückwärts lesen

Die meisten echten Fragen lauten nicht „wie groß wird A“. Sie fragen nach einem der anderen vier Buchstaben, während A vorgegeben ist.

1. Wie viel brauche ich am Anfang? Nach P auflösen: P = A / (1 + r/n)^(n·t). Das ist ein Barwert — was ein zukünftiger Betrag heute wert ist.
2. Welche Rendite brauche ich? Nach r auflösen. Bei jährlicher Verzinsung gilt r = (A/P)^(1/t) − 1. Rechnen Sie das, bevor Sie einem Plan glauben, der einen bestimmten Zinssatz voraussetzt: kommen 12 % heraus, ist der Plan eine Wette und keine Prognose.
3. Wie lange dauert es? Nach t auflösen: t = ln(A/P) / (n · ln(1 + r/n)). Der Sonderfall A = 2P ist die Verdopplungszeit — genau die, die die 72er-Regel näherungsweise angibt.

Die Auflösung nach r ist die nützlichste der drei und die, die am seltensten gemacht wird. Ein Zielbetrag und ein Zeitraum implizieren gemeinsam eine erforderliche Rendite. Diese Zahl aufzuschreiben macht aus einem Wunsch eine überprüfbare Annahme.

Wo die Formel nicht mehr ausreicht

A = P × (1 + r/n)^(n·t) beschreibt eine einzelne Einzahlung, die liegen bleibt. So spart praktisch niemand. Zahlen Sie monatlich 400 € ein, hat jede Einzahlung ihren eigenen Zeithorizont: die erste verzinst sich über die ganze Laufzeit, die letzte einen Monat. Die geschlossene Form dafür ist die Rentenformel — und kombiniert man sie mit unregelmäßigen Ein- und Auszahlungen, wird es schnell unübersichtlich.

Dafür ist der Rechner da. Er geht den Zeitraum Teilperiode für Teilperiode durch, wendet den Zins der Periode an und addiert oder subtrahiert, was geplant ist. Dieselbe Arithmetik, ohne Algebra.

Vier Fehler, die das Ergebnis verändern

• Prozent statt Dezimalzahl einsetzen. r = 6 bedeutet in der Formel 600 %. Das ist der häufigste Rechenfehler überhaupt.
• Nominalzins und Effektivzins verwechseln. Ein Produkt mit „6 % nominal, monatliche Gutschrift“ bringt effektiv 6,17 %. Vergleichen Sie Gleiches mit Gleichem.
• Annehmen, ein historischer Durchschnitt wiederhole sich. Eine langfristige Durchschnittsrendite ist keine Rendite, die Sie jedes Jahr erhalten — und sobald Sie entnehmen, zählt die Reihenfolge der Jahre.
• Inflation, Steuern und Kosten vergessen. Alle drei senken r, und r steht im Exponenten. 0,5 % Kosten pro Jahr über dreißig Jahre sind nicht 15 % Ihrer Rendite: sie verzinsen sich mit.

Keiner dieser Punkte ändert die Formel. Sie ändern, was Sie hineinschreiben — und daher kommen fast alle Fehler in Prognosen.

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