De formule voor samengestelde rente, regel voor regel uitgelegd

Samengestelde rente is een formule die uit vijf letters bestaat. Zodra u die vijf letters kunt lezen, beantwoorden de meeste vragen over langetermijnsparen zich vanzelf: hoeveel een inleg opbrengt, hoe lang het duurt voordat het bedrag verdubbeld is, en waarom vijf jaar eerder beginnen beter is dan vijf procent meer sparen. Deze gids legt de formule uit, laat zien wat elk onderdeel met het resultaat doet en biedt u scenario’s die u in de rekenmachine kunt openen.

Wat de formule eigenlijk inhoudt

A = P × (1 + r/n)^(n·t)

A — het bedrag dat u uiteindelijk ontvangt

P — de hoofdsom, het bedrag waarmee u begint

r — de jaarlijkse rentevoet als decimaal getal (6 % = 0,06)

n — het aantal keren per jaar dat rente wordt bijgeschreven

t — het aantal jaren

Lees het van binnen naar buiten. De rentevoet r wordt gedeeld door n, omdat bij maandelijkse renteverrekening bij elke verrekeningsmoment slechts een twaalfde van de jaarlijkse rentevoet wordt bijgeschreven. Die kleine factor wordt vervolgens n·t keer toegepast — één keer per verrekeningsmoment over de gehele looptijd. Alles wat interessant is aan samengestelde rente zit in die exponent.

Eén gevolg is het vermelden waard: de basis van de macht ligt nauwelijks boven de één. Bij een jaarlijks toegekende rente van 6 % bedraagt de basis 1,06. Het verheffen van 1,06 tot de macht 40 is niet zomaar een kleine correctie tot 1,06 × 40. Het betreft een ander soort groei, en het verschil is in de eerste paar jaar niet zichtbaar.

Waarom de exponent al het werk doet

De duidelijkste manier om dit te illustreren is door alles vast te houden, behalve de tijd. Stort € 10.000 tegen 5 % per jaar, jaarlijks bijgeschreven, en raak niets aan. Bij enkelvoudige rente zou u elk jaar € 500 ontvangen, voor altijd. Bij samengestelde rente ontvangt u € 500 in het eerste jaar en elk jaar daarna meer, omdat de rente zelf ook rente gaat opleveren.

Na vijf jaar verschillen de twee kolommen in € 263 — een afrondingsfout in de planning van de meeste mensen. Na veertig jaar bedraagt het verschil € 40.400, wat vier keer de oorspronkelijke inleg is. Er is niets veranderd, behalve het aantal keren dat de exponent is toegepast. Dit is de reden waarom elke gids over sparen uiteindelijk hetzelfde zegt over vroeg beginnen: u koopt geen hogere rente, u koopt meer exponent.

Waar het geld eigenlijk vandaan komt

Het helpt om het eindbedrag in twee delen op te splitsen: het geld dat u hebt ingelegd en het geld dat het geld heeft opgeleverd. In de bovenstaande reeks van veertig jaar is € 10.000 van u en € 60.400 rente. De verhouding keert ergens halverwege om, en als u ongeveer weet waar dat gebeurt, verandert dat de manier waarop u uw eigen plan interpreteert.

• In het begin bestaat het saldo bijna volledig uit uw eigen stortingen. Aannames over de rentevoet spelen nauwelijks een rol, en een slecht jaar is gemakkelijk goed te maken.
• Rond het moment waarop de cumulatieve rente de cumulatieve inleg inhaalt, begint de veronderstelde rentevoet bepalend te worden voor het eindresultaat.
• Op de lange termijn volgt het saldo grotendeels de marktontwikkeling. Een extra storting heeft weinig invloed; een procentpunt verandering in de rente heeft daarentegen een grote invloed.

Dit is tevens het eerlijke antwoord op de vraag „welke rentevoet moet ik hanteren?”. Voor een looptijd van vijf jaar doet de aanname er nauwelijks toe. Voor een looptijd van dertig jaar is het echter het belangrijkste getal in de berekening, en het is het getal waarover u het minst weet.

Wat verandert er, en wat blijft hetzelfde?

De „n” in de formule staat voor de frequentie van de renteberekening: hoe vaak de rente wordt bijgeschreven en zelf weer rente begint op te brengen. Het verhogen hiervan helpt altijd, maar veel minder dan men zou verwachten. Het overschakelen van jaarlijkse naar maandelijkse renteberekening bij een rente van 6 % over een periode van twintig jaar levert ongeveer 3 % extra op het eindsaldo op — een reëel voordeel, maar lang niet zo groot als het effect van één extra jaar beleggingshorizon.

Er geldt een bovengrens. Naarmate n naar oneindig neigt, convergeert de uitdrukking naar A = P × e^(r·t), wat overeenkomt met continue samengestelde rente. Het verschil tussen maandelijkse en continue samengestelde rente is zo klein dat geen enkel consumentenproduct hier ooit reclame voor zal maken. Het is de moeite waard om de frequentie te begrijpen, zodat u twee producten correct kunt vergelijken, niet omdat het optimaliseren ervan uw eindresultaat zal beïnvloeden.

De formule achterstevoren lezen

De meeste echte vragen luiden niet „wat zal A zijn“. Het gaat om een van de andere vier letters, waarbij A gegeven is.

1. Met hoeveel moet ik beginnen? Bepaal de waarde van P: P = A / (1 + r/n)^(n·t). Dit is de contante waarde — de waarde die een toekomstig bedrag vandaag vertegenwoordigt.
2. Welk rendement heb ik nodig? Bepaal de waarde van r. Bij jaarlijkse samengestelde rente geldt: r = (A/P)^(1/t) − 1. Doe dit voordat u vertrouwen stelt in een plan dat een specifiek rendement vereist; als het antwoord 12 % is, is het plan een gok, geen prognose.
3. Hoe lang duurt het? Bepaal t: t = ln(A/P) / (n · ln(1 + r/n)). Het speciale geval A = 2P is de verdubbelingstijd, wat ongeveer overeenkomt met de regel van 72.

Het berekenen van r is de nuttigste van de drie, en wordt het minst vaak gedaan. Een streefbedrag en een looptijd impliceren samen een vereist rendement. Door dat getal op te schrijven, wordt een wens een toetsbare aanname.

Wanneer de formule niet langer volstaat

A = P × (1 + r/n)^(n·t) beschrijft één storting die ongemoeid blijft. Bijna niemand spaart op die manier. Stel dat u maandelijks € 400 stort, dan heeft elke inleg een eigen looptijd: de eerste wordt gedurende de volledige looptijd samengesteld, de laatste slechts gedurende één maand. De gesloten vorm hiervoor is de annuïteitenformule, en het combineren daarvan met een onregelmatig schema van inleg en opnames wordt al snel ingewikkeld.

Daar is de rekenmachine voor bedoeld. Deze doorloopt de looptijd periode voor periode, past het tarief voor die periode toe en telt de geplande bedragen op of trekt deze af. Dezelfde rekenkunde, geen algebra.

Vier fouten die het resultaat beïnvloeden

• Het gebruik van een percentage op een plaats waar een decimaal hoort. r = 6 in de formule betekent 600 %. Dit is veruit de meest voorkomende rekenfout.
• Verwarring tussen nominale en effectieve rentepercentages. Een product dat wordt aangeprezen met „6 % nominaal, maandelijks bijgeschreven” levert een effectief rendement van 6,17 % op. Vergelijk gelijksoortige producten met elkaar.
• Ervan uitgaande dat een gemiddelde uit het verleden zich zal herhalen. Een gemiddeld rendement op lange termijn is niet hetzelfde als het rendement dat u elk jaar ontvangt; de volgorde van de jaren is van belang zodra u geld opneemt.
• Inflatie, belastingen en kosten buiten beschouwing gelaten. Alle drie verlagen ze r, en r staat in de exponent. Een jaarlijkse vergoeding van 0,5 % over een periode van dertig jaar bedraagt niet 15 % van uw rendement — ook deze vergoeding wordt samengesteld.

Geen van deze factoren verandert de formule. Ze beïnvloeden de gegevens die u invoert, en dat is waar vrijwel alle prognosefouten vandaan komen.

Verder lezen