La formula dell’interesse composto, spiegata riga per riga

L’interesse composto è una formula composta da cinque lettere. Una volta che si è in grado di interpretare quelle cinque lettere, la maggior parte delle domande relative al risparmio a lungo termine trova risposta da sé: a quanto ammonta un deposito, quanto tempo occorre per raddoppiarlo e perché iniziare cinque anni prima è più vantaggioso che risparmiare il cinque per cento in più. Questa guida illustra la formula, spiega l’effetto di ciascuna parte sul risultato e fornisce scenari che è possibile aprire nella calcolatrice.

Cosa indica effettivamente la formula

A = P × (1 + r/n)^(n·t)

A — l’importo che si ottiene alla fine

P — il capitale, l'importo iniziale

r — il tasso di interesse annuo espresso in forma decimale (6 % = 0,06)

n — quante volte all'anno vengono accreditati gli interessi

t — il numero di anni

Leggetelo con attenzione dall’inizio alla fine. Il tasso r viene diviso per n, poiché, se gli interessi vengono accreditati mensilmente, ogni operazione di accredito corrisponde solo a un dodicesimo del tasso annuo. Quel piccolo fattore viene quindi applicato n·t volte — una volta per ogni operazione di accredito nell’arco dell’intero orizzonte temporale. Tutto ciò che è interessante riguardo all’interesse composto risiede proprio in quell’esponente.

Vale la pena sottolineare chiaramente una conseguenza: la base dell’elevamento è appena superiore a uno. Con un tasso del 6 % accreditato annualmente, la base è 1,06. Elevare 1,06 alla potenza di 40 non equivale semplicemente a 1,06 × 40. Si tratta di un tipo diverso di crescita, e la differenza non è visibile nei primi anni.

Perché è l’esponente a fare tutto il lavoro

Il modo più chiaro per comprenderlo è mantenere fisse tutte le variabili tranne il tempo. Depositi 10.000 € al 5 % annuo, con accredito annuale, e non intacca il capitale. Con l’interesse semplice si riceverebbero 500 € ogni anno, per sempre. L’interesse composto frutta 500 € nel primo anno e una somma maggiore in ciascuno degli anni successivi, poiché gli interessi stessi iniziano a fruttare.

Dopo cinque anni le due colonne presentano una differenza di 263 € — un errore di arrotondamento nella pianificazione della maggior parte delle persone. Dopo quarant’anni la differenza ammonta a 40.400 €, ovvero quattro volte il deposito iniziale. Non è cambiato nulla, se non il numero di volte in cui è stato applicato l’esponente. Ecco perché ogni guida sul risparmio finisce per dire la stessa cosa riguardo all’importanza di iniziare presto: non si acquista un tasso più elevato, ma si acquista più esponente.

Da dove proviene effettivamente il denaro

È utile suddividere l’importo finale in due parti: il denaro che ha versato e il denaro generato da tale somma. Nella tabella sopra riportata, relativa a un periodo di quarant’anni, 10.000 € sono suoi e 60.400 € rappresentano gli interessi. Il rapporto si inverte a metà percorso circa, e sapere approssimativamente a che punto avviene tale inversione cambia il modo in cui legge il suo piano.

• All’inizio, quasi tutto il saldo è costituito dai suoi versamenti. Le ipotesi sui tassi di interesse hanno un’importanza marginale ed è facile recuperare dopo un anno negativo.
• Nel momento in cui gli interessi cumulati superano i depositi cumulati, l’ipotesi relativa al tasso di interesse inizia a determinare in modo preponderante il risultato.
• In seguito, il saldo oscilla principalmente in base all’andamento del mercato. Aumentare il deposito incide in misura minima; un punto percentuale sul tasso incide invece in misura significativa.

Questa è anche la risposta sincera alla domanda «quale tasso dovrei ipotizzare?». Per un orizzonte temporale di cinque anni, l’ipotesi scelta ha poca importanza. Per un orizzonte temporale di trent’anni, invece, è il dato di gran lunga più determinante nel calcolo, ed è proprio quello di cui si sa meno.

Cosa cambia e cosa rimane invariato

La «n» nella formula rappresenta la frequenza di capitalizzazione: ovvero la periodicità con cui gli interessi vengono accreditati e iniziano a fruttare a loro volta. Aumentarla è sempre utile, ma l’effetto è ben inferiore a quanto ci si aspetterebbe. Passare da una capitalizzazione annuale a una mensile al 6 % nell’arco di vent’anni aggiunge circa il 3 % al saldo finale: un aumento reale, ma ben lontano dall’effetto che si otterrebbe con un anno in più di orizzonte temporale.

Esiste un limite massimo. Man mano che n tende all’infinito, l’espressione converge verso A = P × e^(r·t), con capitalizzazione continua. La differenza tra la capitalizzazione mensile e quella continua è talmente esigua che nessun prodotto di consumo la pubblicizzerà mai. È importante comprendere la frequenza per poter confrontare correttamente due prodotti, non perché ottimizzarla modificherà il risultato finale.

Lettura della formula al contrario

La maggior parte delle domande reali non è del tipo «quale sarà il valore di A?». Si tratta invece di una delle altre quattro lettere, dato che A è già noto.

1. Di quanto ho bisogno per iniziare? Si risolva l'equazione per P: P = A / (1 + r/n)^(n·t). Si tratta del valore attuale, ovvero il valore odierno di un importo futuro.
2. Di quale rendimento ho bisogno? Si calcoli il valore di r. Con capitalizzazione annuale, r = (A/P)^(1/t) − 1. Si esegua questo calcolo prima di affidarsi a qualsiasi piano che richieda un tasso specifico; se il risultato è pari al 12 %, il piano è una scommessa, non una proiezione.
3. Quanto tempo ci vorrà? Si risolva per t: t = ln(A/P) / (n · ln(1 + r/n)). Il caso particolare A = 2P corrisponde al tempo di raddoppio, che è ciò che approssima la regola del 72.

Il calcolo di r è il più utile dei tre, ma anche quello che viene effettuato meno spesso. Un importo target e un orizzonte temporale implicano insieme un rendimento richiesto. Annotare tale cifra trasforma un desiderio in un'ipotesi verificabile.

Quando la formula non è più sufficiente

La formula A = P × (1 + r/n)^(n·t) descrive un unico deposito lasciato maturare senza interventi. Quasi nessuno risparmia in questo modo. Se si aggiungono 400 € al mese, ogni deposito ha un proprio orizzonte temporale: il primo matura interessi composti per l’intera durata, l’ultimo per un mese. La formula chiusa per questo caso è quella della rendita, e combinarla con un calendario irregolare di versamenti e prelievi diventa rapidamente complesso.

È proprio a questo che serve la calcolatrice. Essa analizza l’orizzonte temporale periodo per periodo, applica il tasso relativo a ciascun periodo e aggiunge o sottrae gli importi previsti. Stessa aritmetica, nessuna algebra.

Quattro errori che modificano il risultato

• Utilizzo di una percentuale al posto di un decimale. r = 6 nella formula indica il 600 %. Si tratta dell’errore aritmetico più comune in assoluto.
• Confusione tra tassi nominali ed effettivi. Un prodotto che pubblicizza un «tasso nominale del 6 %, accreditato mensilmente» offre un rendimento effettivo del 6,17 %. Si confrontino dati omogenei.
• Ipotesi di ripetizione di una media storica. Un rendimento medio a lungo termine non è un rendimento che si ottiene ogni anno; l’ordine degli anni assume importanza non appena si procede al prelievo.
• Senza considerare l’inflazione, le imposte e le commissioni. Tutti e tre questi fattori riducono il valore di r, che si trova nell’esponente. Una commissione annuale dello 0,5 % su un periodo di trent’anni non rappresenta il 15 % dei suoi rendimenti: anch’essa matura con effetto composto.

Nessuno di questi elementi modifica la formula. Modificano piuttosto i dati che vi inserite, ed è proprio da lì che derivano quasi tutti gli errori di proiezione.

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